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author Shinji KONO Sun, 07 Jun 2020 20:35:14 +0900 6f10c47e4e7a fbabb20f222e
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module zf where

open import Level

open import logic

open import Relation.Nullary
open import Relation.Binary
open import Data.Empty

record IsZF {n m : Level }
(ZFSet : Set n)
(_∋_ : ( A x : ZFSet  ) → Set m)
(_≈_ : Rel ZFSet m)
(∅  : ZFSet)
(_,_ : ( A B : ZFSet  ) → ZFSet)
(Union : ( A : ZFSet  ) → ZFSet)
(Power : ( A : ZFSet  ) → ZFSet)
(Select :  (X : ZFSet  ) → ( ψ : (x : ZFSet ) → Set m ) → ZFSet )
(Replace : ZFSet → ( ZFSet → ZFSet ) → ZFSet )
(infinite : ZFSet)
: Set (suc (n ⊔ suc m)) where
field
isEquivalence : IsEquivalence {n} {m} {ZFSet} _≈_
-- ∀ x ∀ y ∃ z ∀ t ( z ∋ t → t ≈ x ∨ t  ≈ y)
pair→ : ( x y t : ZFSet  ) →  (x , y)  ∋ t  → ( t ≈ x ) ∨ ( t ≈ y )
pair← : ( x y t : ZFSet  ) →  ( t ≈ x ) ∨ ( t ≈ y )  →  (x , y)  ∋ t
-- ∀ x ∃ y ∀ z (z ∈ y ⇔ ∃ u ∈ x  ∧ (z ∈ u))
union→ : ( X z u : ZFSet ) → ( X ∋ u ) ∧ (u ∋ z ) → Union X ∋ z
union← : ( X z : ZFSet ) → (X∋z : Union X ∋ z ) →  ¬  ( (u : ZFSet ) → ¬ ((X ∋  u) ∧ (u ∋ z )))
_∈_ : ( A B : ZFSet  ) → Set m
A ∈ B = B ∋ A
_⊆_ : ( A B : ZFSet  ) → ∀{ x : ZFSet } →  Set m
_⊆_ A B {x} = A ∋ x →  B ∋ x
_∩_ : ( A B : ZFSet  ) → ZFSet
A ∩ B = Select A (  λ x → ( A ∋ x ) ∧ ( B ∋ x )  )
_∪_ : ( A B : ZFSet  ) → ZFSet
A ∪ B = Union (A , B)
｛_｝ : ZFSet → ZFSet
｛ x ｝ = ( x ,  x )
infixr  200 _∈_
infixr  230 _∩_ _∪_
infixr  220 _⊆_
field
empty :  ∀( x : ZFSet  ) → ¬ ( ∅ ∋ x )
-- power : ∀ X ∃ A ∀ t ( t ∈ A ↔ t ⊆ X ) )
power→ : ∀( A t : ZFSet  ) → Power A ∋ t → ∀ {x}  →  t ∋ x → ¬ ¬ ( A ∋ x ) -- _⊆_ t A {x}
power← : ∀( A t : ZFSet  ) → ( ∀ {x}  →  _⊆_ t A {x})  → Power A ∋ t
-- extensionality : ∀ z ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ ∀ w ( x ∈ w ⇔ y ∈ w )
extensionality :  { A B w : ZFSet  } → ( (z : ZFSet) → ( A ∋ z ) ⇔ (B ∋ z)  ) → ( A ∈ w ⇔ B ∈ w )
-- regularity without minimum
ε-induction : { ψ : ZFSet → Set (suc m)}
→ ( {x : ZFSet } → ({ y : ZFSet } →  x ∋ y → ψ y ) → ψ x )
→ (x : ZFSet ) → ψ x
-- infinity : ∃ A ( ∅ ∈ A ∧ ∀ x ∈ A ( x ∪ { x } ∈ A ) )
infinity∅ :  ∅ ∈ infinite
infinity :  ∀( x : ZFSet  ) → x ∈ infinite →  ( x ∪ ｛ x ｝) ∈ infinite
selection : { ψ : ZFSet → Set m } → ∀ { X y : ZFSet  } →  ( ( y ∈ X ) ∧ ψ y ) ⇔ (y ∈  Select X ψ )
-- replacement : ∀ x ∀ y ∀ z ( ( ψ ( x , y ) ∧ ψ ( x , z ) ) → y = z ) → ∀ X ∃ A ∀ y ( y ∈ A ↔ ∃ x ∈ X ψ ( x , y ) )
replacement← : {ψ : ZFSet → ZFSet} → ∀ ( X x : ZFSet  ) → x ∈ X → ψ x ∈  Replace X ψ
replacement→ : {ψ : ZFSet → ZFSet} → ∀ ( X x : ZFSet  ) →  ( lt : x ∈  Replace X ψ ) → ¬ ( ∀ (y : ZFSet)  →  ¬ ( x ≈ ψ y ) )

record ZF {n m : Level } : Set (suc (n ⊔ suc m)) where
infixr  210 _,_
infixl  200 _∋_
infixr  220 _≈_
field
ZFSet : Set n
_∋_ : ( A x : ZFSet  ) → Set m
_≈_ : ( A B : ZFSet  ) → Set m
-- ZF Set constructor
∅  : ZFSet
_,_ : ( A B : ZFSet  ) → ZFSet
Union : ( A : ZFSet  ) → ZFSet
Power : ( A : ZFSet  ) → ZFSet
Select :  (X : ZFSet  ) → ( ψ : (x : ZFSet ) → Set m ) → ZFSet
Replace : ZFSet → ( ZFSet → ZFSet ) → ZFSet
infinite : ZFSet
isZF : IsZF ZFSet _∋_ _≈_ ∅ _,_ Union Power Select Replace infinite

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